正则化(Regularization)

过拟合的问题 Problem of Overfitting

到现在为止，我们已经学习了几种不同的学习算法，包括线性回归和逻辑回归，它们能够有效地解决许多问题，但是当将它们应用到某些特定的机器学习应用时，会遇到过拟合(over-fitting)的问题，可能会导致它们效果很差。

就以多项式理解，$x$ 的次数越高，拟合的越好，但相应的预测的能力就可能变差。

如果我们发现了过拟合问题，应该如何处理？

丢弃一些不能帮助我们正确预测的特征。可以是手工选择保留哪些特征，或者使用一些模型选择的算法来帮忙（例如PCA）
正则化。保留所有的特征，但是减少参数的大小（magnitude）。

代价函数 Cost Function

上面的回归问题中如果我们的模型是：
${h_\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}+{\theta_{1}}{x_{1}}+{\theta_{2}}{x_{2}^2}+{\theta_{3}}{x_{3}^3}+{\theta_{4}}{x_{4}^4}$
我们可以从之前的事例中看出，正是那些高次项导致了过拟合的产生，所以如果我们能让这些高次项的系数接近于0的话，我们就能很好的拟合了。
所以我们要做的就是在一定程度上减小这些参数$\theta $ 的值，这就是正则化的基本方法。我们决定要减少${\theta_{3}}$和${\theta_{4}}$的大小，我们要做的便是修改代价函数，在其中${\theta_{3}}$和${\theta_{4}}$ 设置一点惩罚。这样做的话，我们在尝试最小化代价时也需要将这个惩罚纳入考虑中，并最终导致选择较小一些的${\theta_{3}}$和${\theta_{4}}$。
修改后的代价函数如下：$\underset{\theta }{\mathop{\min }}\,\frac{1}{2m}[\sum\limits_{i=1}^{m}{ { {\left( { {h}_{\theta }}\left( { {x}^{(i)}} \right)-{ {y}^{(i)}} \right)}^{2}}+1000\theta _{3}^{2}+10000\theta _{4}^{2}]}$

通过这样的代价函数选择出的${\theta_{3}}$和${\theta_{4}}$ 对预测结果的影响就比之前要小许多。假如我们有非常多的特征，我们并不知道其中哪些特征我们要惩罚，我们将对所有的特征进行惩罚，并且让代价函数最优化的软件来选择这些惩罚的程度。这样的结果是得到了一个较为简单的能防止过拟合问题的假设：$J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}[\sum\limits_{i=1}^{m}{ { {({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})}^{2}}+\lambda \sum\limits_{j=1}^{n}{\theta_{j}^{2}}]}$

其中$\lambda $又称为正则化参数（Regularization Parameter）。注：根据惯例，我们不对${\theta_{0}}$ 进行惩罚。

如果选择的正则化参数$\lambda$ 过大，则会把所有的参数都最小化了，导致模型变成 ${h_\theta}\left( x \right)={\theta_{0}}$，也就是上图中红色直线所示的情况，造成欠拟合。
那为什么增加的一项$\lambda =\sum\limits_{j=1}^{n}{\theta_j^{2}}$ 可以使$\theta $的值减小呢？
因为如果我们令 $\lambda$ 的值很大的话，为了使Cost Function 尽可能的小，所有的 $\theta $ 的值（不包括${\theta_{0}}$）都会在一定程度上减小。
但若$\lambda$ 的值太大了，那么$\theta $（不包括${\theta_{0}}$）都会趋近于0，这样我们所得到的只能是一条平行于$x$轴的直线。
所以对于正则化，我们要取一个合理的 $\lambda$ 的值，这样才能更好的应用正则化。
回顾一下代价函数，为了使用正则化，让我们把这些概念应用到到线性回归和逻辑回归中去，那么我们就可以让他们避免过度拟合了。

正则化线性回归 Regularized Linear Regression

对于线性回归的求解，我们之前推导了两种学习算法：一种基于梯度下降，一种基于正规方程。

正则化线性回归的代价函数为：

$J\left( \theta \right)=\frac{1}{2m}\sum\limits_{i=1}^{m}{[({ {({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})}^{2}}+\lambda \sum\limits_{j=1}^{n}{\theta _{j}^{2}})]}$

如果我们要使用梯度下降法令这个代价函数最小化，因为我们未对$\theta_0$进行正则化，所以梯度下降算法将分两种情形：

   ${\theta_0}:={\theta_0}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})x_{0}^{(i)}})$ 

   ${\theta_j}:={\theta_j}-a[\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}+\frac{\lambda }{m}{\theta_j}]$ 

                                        $for$ $j=1,2,...n$

对上面的算法中$ j=1,2,…,n$ 时的更新式子进行调整可得：

${\theta_j}:={\theta_j}(1-a\frac{\lambda }{m})-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}$
可以看出，正则化线性回归的梯度下降算法的变化在于，每次都在原有算法更新规则的基础上令$\theta $值减少了一个额外的值。

正则化的逻辑回归模型 Regularized Logistic Regression

针对逻辑回归问题，我们在之前的课程已经学习过两种优化算法：我们首先学习了使用梯度下降法来优化代价函数$J\left( \theta \right)$，接下来学习了更高级的优化算法，这些高级优化算法需要你自己设计代价函数$J\left( \theta \right)$。

自己计算导数同样对于逻辑回归，我们也给代价函数增加一个正则化的表达式，得到代价函数：

$J\left( \theta \right)=\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{[-{ {y}^{(i)}}\log \left( {h_\theta}\left( { {x}^{(i)}} \right) \right)-\left( 1-{ {y}^{(i)}} \right)\log \left( 1-{h_\theta}\left( { {x}^{(i)}} \right) \right)]}+\frac{\lambda }{2m}\sum\limits_{j=1}^{n}{\theta _{j}^{2}}$

Python代码：

import numpy as np

def costReg(theta, X, y, learningRate):
    theta = np.matrix(theta)
    X = np.matrix(X)
    y = np.matrix(y)
    first = np.multiply(-y, np.log(sigmoid(X*theta.T)))
    second = np.multiply((1 - y), np.log(1 - sigmoid(X*theta.T)))
    reg = (learningRate / (2 * len(X))* np.sum(np.power(theta[:,1:theta.shape[1]],2))
    return np.sum(first - second) / (len(X)) + reg

要最小化该代价函数，通过求导，得出梯度下降算法为：

$Repeat$ $until$ $convergence${

   ${\theta_0}:={\theta_0}-a\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{(({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})x_{0}^{(i)}})$ 

   ${\theta_j}:={\theta_j}-a[\frac{1}{m}\sum\limits_{i=1}^{m}{({h_\theta}({ {x}^{(i)}})-{ {y}^{(i)}})x_{j}^{\left( i \right)}}+\frac{\lambda }{m}{\theta_j}]$ 

                                        $for$ $j=1,2,...n$

                   }

注：看上去同线性回归一样，但是知道 ${h_\theta}\left( x \right)=g\left( {\theta^T}X \right)$，所以与线性回归不同。

注意：