高等数学
1.导数定义：
导数和微分的概念
$f’({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}$ （1）
或者：
$f’({ {x}_{0}})=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}}$ （2）
2.左右导数导数的几何意义和物理意义
函数$f(x)$在$x_0$处的左、右导数分别定义为：
左导数：${ { {f}’}_{-}}({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to { {0}^{-}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}},(x={ {x}_{0}}+\Delta x)$
右导数：${ { {f}’}_{+}}({ {x}_{0}})=\underset{\Delta x\to { {0}^{+}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f({ {x}_{0}}+\Delta x)-f({ {x}_{0}})}{\Delta x}=\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)-f({ {x}_{0}})}{x-{ {x}_{0}}}$
3.函数的可导性与连续性之间的关系
Th1: 函数$f(x)$在$x_0$处可微$\Leftrightarrow f(x)$在$x_0$处可导
Th2: 若函数在点$x_0$处可导，则$y=f(x)$在点$x_0$处连续，反之则不成立。即函数连续不一定可导。
Th3: ${f}’({ {x}_{0}})$存在$\Leftrightarrow { { {f}’}_{-}}({ {x}_{0}})={ { {f}’}_{+}}({ {x}_{0}})$
4.平面曲线的切线和法线
切线方程 : $y-{ {y}_{0}}=f’({ {x}_{0}})(x-{ {x}_{0}})$
法线方程：$y-{ {y}_{0}}=-\frac{1}{f’({ {x}_{0}})}(x-{ {x}_{0}}),f’({ {x}_{0}})\ne 0$
5.四则运算法则
设函数$u=u(x)，v=v(x)$]在点$x$可导则
(1) $(u\pm v{)}’={u}’\pm {v}’$ $d(u\pm v)=du\pm dv$
(2)$(uv{)}’=u{v}’+v{u}’$ $d(uv)=udv+vdu$
(3) $(\frac{u}{v}{)}’=\frac{v{u}’-u{v}’}{ { {v}^{2}}}(v\ne 0)$ $d(\frac{u}{v})=\frac{vdu-udv}{ { {v}^{2}}}$
6.基本导数与微分表
(1) $y=c$（常数） ${y}’=0$ $dy=0$
(2) $y={ {x}^{\alpha }}$($\alpha $为实数) ${y}’=\alpha { {x}^{\alpha -1}}$ $dy=\alpha { {x}^{\alpha -1}}dx$
(3) $y={ {a}^{x}}$ ${y}’={ {a}^{x}}\ln a$ $dy={ {a}^{x}}\ln adx$
特例: $({ { {e}}^{x}}{)}’={ { {e}}^{x}}$ $d({ { {e}}^{x}})={ { {e}}^{x}}dx$
(4) ${y}’=\frac{1}{x\ln a}$
$dy=\frac{1}{x\ln a}dx$
特例:$y=\ln x$ $(\ln x{)}’=\frac{1}{x}$ $d(\ln x)=\frac{1}{x}dx$
(5) $y=\sin x$
${y}’=\cos x$ $d(\sin x)=\cos xdx$
(6) $y=\cos x$
${y}’=-\sin x$ $d(\cos x)=-\sin xdx$
(7) $y=\tan x$
${y}’=\frac{1}{ { {\cos }^{2}}x}={ {\sec }^{2}}x$ $d(\tan x)={ {\sec }^{2}}xdx$
(8) $y=\cot x$ ${y}’=-\frac{1}{ { {\sin }^{2}}x}=-{ {\csc }^{2}}x$ $d(\cot x)=-{ {\csc }^{2}}xdx$
(9) $y=\sec x$ ${y}’=\sec x\tan x$
$d(\sec x)=\sec x\tan xdx$
(10) $y=\csc x$ ${y}’=-\csc x\cot x$
$d(\csc x)=-\csc x\cot xdx$
(11) $y=\arcsin x$
${y}’=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}$
$d(\arcsin x)=\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}dx$
(12) $y=\arccos x$
${y}’=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}$ $d(\arccos x)=-\frac{1}{\sqrt{1-{ {x}^{2}}}}dx$
(13) $y=\arctan x$
${y}’=\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}$ $d(\arctan x)=\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}dx$
(14) $y=\operatorname{arc}\cot x$
${y}’=-\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}$
$d(\operatorname{arc}\cot x)=-\frac{1}{1+{ {x}^{2}}}dx$
(15) $y=shx$
${y}’=chx$ $d(shx)=chxdx$
(16) $y=chx$
${y}’=shx$ $d(chx)=shxdx$
7.复合函数，反函数，隐函数以及参数方程所确定的函数的微分法
(1) 反函数的运算法则: 设$y=f(x)$在点$x$的某邻域内单调连续，在点$x$处可导且${f}’(x)\ne 0$，则其反函数在点$x$所对应的$y$处可导，并且有$\frac{dy}{dx}=\frac{1}{\frac{dx}{dy}}$
(2) 复合函数的运算法则:若$\mu =\varphi (x)$在点$x$可导,而$y=f(\mu )$在对应点$\mu $($\mu =\varphi (x)$)可导,则复合函数$y=f(\varphi (x))$在点$x$可导,且${y}’={f}’(\mu )\cdot {\varphi }’(x)$
(3) 隐函数导数$\frac{dy}{dx}$的求法一般有三种方法：
1)方程两边对$x$求导，要记住$y$是$x$的函数，则$y$的函数是$x$的复合函数.例如$\frac{1}{y}$，${ {y}^{2}}$，$ln y$，${ { {e}}^{y}}$等均是$x$的复合函数.
对$x$求导应按复合函数连锁法则做.
2)公式法.由$F(x,y)=0$知 $\frac{dy}{dx}=-\frac{ { { { {F}’}}_{x}}(x,y)}{ { { { {F}’}}_{y}}(x,y)}$,其中，${ { {F}’}_{x}}(x,y)$，
${ { {F}’}_{y}}(x,y)$分别表示$F(x,y)$对$x$和$y$的偏导数
3)利用微分形式不变性
8.常用高阶导数公式
（1）$({ {a}^{x}}){ {\,}^{(n)}}={ {a}^{x}}{ {\ln }^{n}}a\quad (a>{0})\quad \quad ({ { {e}}^{x}}){ {\,}^{(n)}}={e}{ {\,}^{x}}$
（2）$(\sin kx{)}{ {\,}^{(n)}}={ {k}^{n}}\sin (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2}})$
（3）$(\cos kx{)}{ {\,}^{(n)}}={ {k}^{n}}\cos (kx+n\cdot \frac{\pi }{ {2}})$
（4）$({ {x}^{m}}){ {\,}^{(n)}}=m(m-1)\cdots (m-n+1){ {x}^{m-n}}$
（5）$(\ln x){ {\,}^{(n)}}={ {(-{1})}^{(n-{1})}}\frac{(n-{1})!}{ { {x}^{n}}}$
（6）莱布尼兹公式：若$u(x)\,,v(x)$均$n$阶可导，则
${ {(uv)}^{(n)}}=\sum\limits_{i={0}}^{n}{c_{n}^{i}{ {u}^{(i)}}{ {v}^{(n-i)}}}$，其中${ {u}^{({0})}}=u$，${ {v}^{({0})}}=v$
9.微分中值定理，泰勒公式
Th1:(费马定理)
若函数$f(x)$满足条件：
(1)函数$f(x)$在${ {x}_{0}}$的某邻域内有定义，并且在此邻域内恒有
$f(x)\le f({ {x}_{0}})$或$f(x)\ge f({ {x}_{0}})$,
(2) $f(x)$在${ {x}_{0}}$处可导,则有 ${f}’({ {x}_{0}})=0$
Th2:(罗尔定理)
设函数$f(x)$满足条件：
(1)在闭区间$[a,b]$上连续；
(2)在$(a,b)$内可导；
(3)$f(a)=f(b)$；
则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 ${f}’(\xi )=0$
Th3: (拉格朗日中值定理)
设函数$f(x)$满足条件：
(1)在$[a,b]$上连续；
(2)在$(a,b)$内可导；
则在$(a,b)$内一存在个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}={f}’(\xi )$
Th4: (柯西中值定理)
设函数$f(x)$，$g(x)$满足条件：
(1) 在$[a,b]$上连续；
(2) 在$(a,b)$内可导且${f}’(x)$，${g}’(x)$均存在，且${g}’(x)\ne 0$
则在$(a,b)$内存在一个$\xi $，使 $\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}=\frac{ {f}’(\xi )}{ {g}’(\xi )}$
10.洛必达法则
法则Ⅰ ($\frac{0}{0}$型)
设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：
$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;
$f\left( x \right),g\left( x \right)$在${ {x}_{0}}$的邻域内可导，(在${ {x}_{0}}$处可除外)且${g}’\left( x \right)\ne 0$;
$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。
则:
$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$。
法则${ {I}’}$ ($\frac{0}{0}$型)设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：
$\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=0,\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=0$;
存在一个$X>0$,当$\left| x \right|>X$时,$f\left( x \right),g\left( x \right)$可导,且${g}’\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。
则:
$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$
法则Ⅱ($\frac{\infty }{\infty }$型) 设函数$f\left( x \right),g\left( x \right)$满足条件：
$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,f\left( x \right)=\infty ,\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,g\left( x \right)=\infty $; $f\left( x \right),g\left( x \right)$在${ {x}_{0}}$ 的邻域内可导(在${ {x}_{0}}$处可除外)且${g}’\left( x \right)\ne 0$;$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}$存在(或$\infty $)。则
$\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{f\left( x \right)}{g\left( x \right)}=\underset{x\to { {x}_{0}}}{\mathop{\lim }}\,\frac{ {f}’\left( x \right)}{ {g}’\left( x \right)}.$同理法则${I{I}’}$($\frac{\infty }{\infty }$型)仿法则${ {I}’}$可写出。
11.泰勒公式
设函数$f(x)$在点${ {x}_{0}}$处的某邻域内具有$n+1$阶导数，则对该邻域内异于${ {x}_{0}}$的任意点$x$，在${ {x}_{0}}$与$x$之间至少存在
一个$\xi $，使得：
$f(x)=f({ {x}_{0}})+{f}’({ {x}_{0}})(x-{ {x}_{0}})+\frac{1}{2!}{f}’’({ {x}_{0}}){ {(x-{ {x}_{0}})}^{2}}+\cdots $
$+\frac{ { {f}^{(n)}}({ {x}_{0}})}{n!}{ {(x-{ {x}_{0}})}^{n}}+{ {R}_{n}}(x)$
其中 ${ {R}_{n}}(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{ {(x-{ {x}_{0}})}^{n+1}}$称为$f(x)$在点${ {x}_{0}}$处的$n$阶泰勒余项。
令${ {x}_{0}}=0$，则$n$阶泰勒公式
$f(x)=f(0)+{f}’(0)x+\frac{1}{2!}{f}’’(0){ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {f}^{(n)}}(0)}{n!}{ {x}^{n}}+{ {R}_{n}}(x)$……(1)
其中 ${ {R}_{n}}(x)=\frac{ { {f}^{(n+1)}}(\xi )}{(n+1)!}{ {x}^{n+1}}$，$\xi $在0与$x$之间.(1)式称为麦克劳林公式
常用五种函数在${ {x}_{0}}=0$处的泰勒公式
(1) ${ { {e}}^{x}}=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n}}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}{ {e}^{\xi }}$
或 $=1+x+\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{1}{n!}{ {x}^{n}}+o({ {x}^{n}})$
(2) $\sin x=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}\sin (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$
或 $=x-\frac{1}{3!}{ {x}^{3}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\sin \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n}})$
(3) $\cos x=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+\frac{ { {x}^{n+1}}}{(n+1)!}\cos (\xi +\frac{n+1}{2}\pi )$
或 $=1-\frac{1}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{ { {x}^{n}}}{n!}\cos \frac{n\pi }{2}+o({ {x}^{n}})$
(4) $\ln (1+x)=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2}}+\frac{1}{3}{ {x}^{3}}-\cdots +{ {(-1)}^{n-1}}\frac{ { {x}^{n}}}{n}+\frac{ { {(-1)}^{n}}{ {x}^{n+1}}}{(n+1){ {(1+\xi )}^{n+1}}}$
或 $=x-\frac{1}{2}{ {x}^{2}}+\frac{1}{3}{ {x}^{3}}-\cdots +{ {(-1)}^{n-1}}\frac{ { {x}^{n}}}{n}+o({ {x}^{n}})$
(5) ${ {(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots +\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n}}$
$+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{(n+1)!}{ {x}^{n+1}}{ {(1+\xi )}^{m-n-1}}$
或 ${ {(1+x)}^{m}}=1+mx+\frac{m(m-1)}{2!}{ {x}^{2}}+\cdots $ $+\frac{m(m-1)\cdots (m-n+1)}{n!}{ {x}^{n}}+o({ {x}^{n}})$
12.函数单调性的判断
Th1: 设函数$f(x)$在$(a,b)$区间内可导，如果对$\forall x\in (a,b)$，都有$f\,’(x)>0$（或$f\,’(x)<0$），则函数$f(x)$在$(a,b)$内是单调增加的（或单调减少）
Th2: （取极值的必要条件）设函数$f(x)$在${ {x}_{0}}$处可导，且在${ {x}_{0}}$处取极值，则$f\,’({ {x}_{0}})=0$。
Th3: （取极值的第一充分条件）设函数$f(x)$在${ {x}_{0}}$的某一邻域内可微，且$f\,’({ {x}_{0}})=0$（或$f(x)$在${ {x}_{0}}$处连续，但$f\,’({ {x}_{0}})$不存在。）
(1)若当$x$经过${ {x}_{0}}$时，$f\,’(x)$由“+”变“-”，则$f({ {x}_{0}})$为极大值；
(2)若当$x$经过${ {x}_{0}}$时，$f\,’(x)$由“-”变“+”，则$f({ {x}_{0}})$为极小值；
(3)若$f\,’(x)$经过$x={ {x}_{0}}$的两侧不变号，则$f({ {x}_{0}})$不是极值。
Th4: (取极值的第二充分条件)设$f(x)$在点${ {x}_{0}}$处有$f’’(x)\ne 0$，且$f\,’({ {x}_{0}})=0$，则 当$f’\,’({ {x}_{0}})<0$时，$f({ {x}_{0}})$为极大值；="" 当$f'\,'({="" {x}_{0}})="">0$时，$f({ {x}_{0}})$为极小值。
注：如果$f’\,’({ {x}_{0}})<0$，此方法失效。
13.渐近线的求法
(1)水平渐近线 若$\underset{x\to +\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，或$\underset{x\to -\infty }{\mathop{\lim }}\,f(x)=b$，则
$y=b$称为函数$y=f(x)$的水平渐近线。
(2)铅直渐近线 若$\underset{x\to x_{0}^{-}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $，或$\underset{x\to x_{0}^{+}}{\mathop{\lim }}\,f(x)=\infty $，则
$x={ {x}_{0}}$称为$y=f(x)$的铅直渐近线。
(3)斜渐近线 若$a=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,\frac{f(x)}{x},\quad b=\underset{x\to \infty }{\mathop{\lim }}\,[f(x)-ax]$，则
$y=ax+b$称为$y=f(x)$的斜渐近线。
14.函数凹凸性的判断
Th1: (凹凸性的判别定理）若在I上$f’’(x)<0$（或$f''(x)>0$），则$f(x)$在I上是凸的（或凹的）。
Th2: (拐点的判别定理1)若在${ {x}_{0}}$处$f’’(x)=0$，（或$f’’(x)$不存在），当$x$变动经过${ {x}_{0}}$时，$f’’(x)$变号，则$({ {x}_{0}},f({ {x}_{0}}))$为拐点。
Th3: (拐点的判别定理2)设$f(x)$在${ {x}_{0}}$点的某邻域内有三阶导数，且$f’’(x)=0$，$f’’’(x)\ne 0$，则$({ {x}_{0}},f({ {x}_{0}}))$为拐点。
15.弧微分
$dS=\sqrt{1+y{ {‘}^{2}}}dx$
16.曲率
曲线$y=f(x)$在点$(x,y)$处的曲率$k=\frac{\left| y’’ \right|}{ { {(1+y{ {‘}^{2}})}^{\tfrac{3}{2}}}}$。
对于参数方程$\left\{ \begin{align} & x=\varphi (t) \\ & y=\psi (t) \\ \end{align} \right.,$$k=\frac{\left| \varphi ‘(t)\psi ‘’(t)-\varphi ‘’(t)\psi ‘(t) \right|}{ { {[\varphi { {‘}^{2}}(t)+\psi { {‘}^{2}}(t)]}^{\tfrac{3}{2}}}}$。
17.曲率半径
曲线在点$M$处的曲率$k(k\ne 0)$与曲线在点$M$处的曲率半径$\rho $有如下关系：$\rho =\frac{1}{k}$。
